Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 4 Wahrscheinlichkeitsverteilung

Q: Wie ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable \(X\) definiert?
A: Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable \(X\) ist die auf ganz \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \[F=F_X\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}: x \mapsto F(x)=F_X(x)=P(X\le x)\]Die Schreibweise \(F_X(x)\) wird verwendet, um die Zugehörigkeit zur Zufallsvariablen \(X\) klar zu machen.

Q: Wie kann man mit der Verteilungsfunktion von X die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Wert von X in ein bestimmtes Intervall fällt? Für welche Art von Intervallen ist dies möglich?
A: Für die links offenen und rechts geschlossenen Intervalle der Form \((a,b] = \{x\in\mathbb{R}\mid a<x\le b\}\) gilt \[P(a<X\le b) = F_X(b) - F_X(a)\]Für andere Arten von Intervallen sind Grenzübergänge nötig. Setzt man \[P(X=x) = F_X(x) - \lim_{z\to x-}F_X(z) \]für die Wahrscheinlichkeit des exakten Wertes \(x\), dann gilt\[\begin{aligned}P(a\le X\le b) &= F_X(b)-F_X(b)+P(X=a)\\P(a<X<b)&=F_X(b)-F_X(a)-P(X=b)\\ P(a\le X<b)&=F_X(b)-F_X(a) - P(X=b)+P(X=a)\end{aligned}\]

Q: Welche Eigenschaften hat die Verteilungsfunktion?
A: 1. Der Wertebereich der Verteilungsfunktion \(F(x)\) ist im Intervall \([0,1]\) enthalten.
2. Die Funktion F(x) ist monoton wachsend, also \(F(a)\le F(b)\) wenn \(a<b\).
3. \(\lim_{x\to-\infty} F_X(x) = 0\) und \(\lim_{x\to\infty} F_X(x)=1\).

Q: Was ist eine diskrete Zufallsvariable?
A: Ein diskrete Zufallsvariable nimmt nur bestimmte Werte \(x_k, k\in \mathbb{N}\), mit der Wahrscheinlichkeit \(p_k=P(X=x_k)\) an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsvariable in einem Intervall enthalten ist, ist die Summe der Wahrscheinlichkeit der im Intervall enthaltenen Werte: \[P(X\in I) = \sum_{x_k\in I}p_k\]

Q: Was bedeutet es, wenn die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable stückweise konstant ist.
A: Wenn die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable stückweise konstant ist, dann ist die Zufallsvariable diskret.

Q: Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
A: Sind \(x_k\) die Werte der Zufallsvariable, dann ist \[E(X)=\sum_{k} x_k \cdot P(X=x_k),\]wobei \[P(X=x_k) = F(x_k)-\lim_{z\to x_k-} F(z)\]ist.

Q: Was ist eine stetige Zufallsvariable?
A: Eine Zufallsvariable heisst stetig, wenn die Verteilungsfunktion stetig ist.

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X=x)\) für eine stetige Zufallsvariable \(X\).
A: Da die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable stetig ist, gilt \[P(X=x) = F(x) - \lim_{z\to x-}F(z) = 0.\]

Q: Was ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Verteilungsfunktion F(x).
A: Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine nichtnegative Funktion \(\varphi(x)\) mit der Eigenschaft, dass \[F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x \varphi(\xi)\,d\xi.\]Umgekehrt ist auch \(\varphi(x) = F'(x)\) die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Q: Welche Eigenschaften hat die Wahrscheinlichkeitsdichte?
A: Damit eine Funktion \(\varphi(x)\) als Wahrscheinlichkeitsdichte in Frage kommt, müssen die folgenden zwei Eigenschaften erfüllt sein:
1. \(\varphi(x)\) ist nicht negativ: \(\varphi(x)\ge 0\) für alle \(x \in\mathbb{R}\).
2. Normierungsbedingung: \[\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dx = 1.\]

Q: Wie kann man Erwartungswerte mit der Wahrscheinlichkeitsdichte berechnen?
A: Sei \(\varphi(x)\) die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung der Zufallsvariable \(X\), dann ist \[\begin{aligned}E(X)&=\int_{-\infty}^\infty x\varphi(x)\,dx\\E(f(X))&=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)\,dx\end{aligned}\]

Q: Wie kann man Erwartungswerte einer Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion berechnen?
A: Sei \(X\) eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\). Die Erwartungswerte sind\[\begin{aligned} E(X) &=\int_{-\infty}^\infty x\,dF(x)\\E(f(X))&=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dF(x)\end{aligned}\]Darin ist das Stieltjes-Integral als Grenzwert \[\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dF(x) = \lim\sum_{k} f(x)(F(x_{k+1})-F(x_k))\]Über beliebige verfeinerte Unterteilungen des Definitionsbereichs.

Q: Wie geht man zur Berechnung einer Verteilungsfunktion vor?
A: Man verwendet die folgenden drei Schritte:
1. Übersetze die gesuchte Verteilungsfunktion mit der Definition \(F_Z(z) = P(Z\le z)\) in Wahrscheinlichkeiten
2. Forme die Wahrscheinlichkeiten mit den bekannten Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten um, bis nur noch Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X\le x)\) übrig bleiben.
3. Schreibe diese Wahrscheinlichkeiten mit den Verteilungsfunktionen.

Q: Was ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable \(Z=\max(X,Y)\) für unabhängige Zufallsvariable \(X\) und \(Y\).
A: Die Verteilungsfunktion ist \[\begin{aligned}F_Z(z) &= P(Z\le z) \\&= P(\max(X,Y)\le z) \\&= P(X\le z\wedge Y\le z) \\&= P(X\le z)\cdot P(Y\le z) \\&= F_X(z)\cdot F_Y(z).\end{aligned}\]

Q: Seien \(X_1\) und \(X_2\) unabhängige Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi_1(x)\) und \(\varphi_2(x)\). Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariable \(Z=X_1+X_2\)?
A: Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Faltung \[\varphi_Z(z) = (\varphi_1*\varphi_2)(z) = \int_{-\infty}^\infty \varphi_1(x)\varphi_2(z-x)\,dx\]

Q: Sei \(X_1\) eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte \(\varphi_1(x)\) und \(X_2\) eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion \(F_2(x)\). Finde die Verteilungsfunktion der Summe \(Z=X_1+X_2\).
A: Die Verteilungsfunktion \(\varphi_Z(z)\) der Summe ist die Faltung \[\varphi_Z(z) = (\varphi_1*F_2)(z) = \int_{-\infty}^\infty \varphi_1(x)F_2(z-x)\,dx\]

Q: Ein gedächtnisloser Prozess ist so beschaffen, dass die erwartete Anzahl seines Eintretens in einem festen Intervall \(\lambda\) ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau im genannten Intervall genau \(k\) mal eintritt?
A: Dies ist die Poissonverteilung mit der Wahrscheinlichkeit \[P_\lambda(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.\]

Q: Was versteht man unter Standardisierung?
A: Eine Zufallsvariable heisst standardisiert, wenn sie Erwartungswert \(0\) und Varianz \(1\) hat. Wenn die Zufallsvariable \(X\) den Erwartungswert \(\mu=E(X)\) und die Varianz \(\sigma^2=\operatorname{var}(X)\) hat, dann ist \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \]die zu X gehörige standardisierte Zufallsvariable.

Q: Was ist die Standardabweichung?
A: Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: \(\sigma =\sqrt{\operatorname{var}(X)}\)