Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 1 Kombinatorik

Q: Auf wieviele Arten kann man \(n\) verschiedene Objekte anordnen?
A: \(n\) Objekte können auf \(n!\) Arten angeordnet werden.

Q: Was besagt die "Für-jedes-gibt-es-Regel"?
A: Sie besagt: wenn für jede von \(n_1\) möglichen Wahlen von \(a\) gleich viele (\(n_2\)) Wahlen von \(b\) möglich sind, dann gibt es \(n_1n_2\) Möglichkeiten, Paare \((a,b)\) zu bilden. Etwas allgemeiner sagt sie, dass das kartesische Produkt der endlichen Mengen \(A_1,\dots,A_n\)
\[|A_1\times\dots\times A_n| = |A_1|\cdot\ldots\cdot|A_n|\]
Elemente hat.

Q: Was bedeutet der Begriff Permutation?
A: Die Permutationen sind die verschiedenen Reihenfolge, in denen Objekte angeordnet werden können. \(n\) Objekte können auf \(1\cdot 2\cdot\dots(n-1)\cdot n\) Arten angeordnet werden.

Q: Was bedeutet der Begriff "Kombinationen"?
A: "Kombinationen" bedeutet, auf wieviele Arten \(k\) Objekte aus \(n\) ausgewählt werden können. Sie werden mit dem Binomialkoeffizienten
\[C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}\]
berechnet.

Q: Was bedeutet das Perlenkettenproblem?
A: Eine Perlenkette besteht aus \(k\) Perlen, die je \(n\) Farben haben können. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Wahlmöglichkeiten \(k\) mal eine Auswahl zu treffen, ist \(n^k\).

Q: Was ist die erzeugende Funktion einer Folge \(a_0, a_1,\dots\)?
A: Die erzeugende Funktion der Folge \(a_0,a_1,a_2,\dots\) ist die Reihe
\[f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k.\]

Q: In einer Grundgesamtheit von \(N\) Objekten haben \(M\) eine spezielle Eigenschaft. Auf wieviele Arten kann man eine Stichprobe von \(n\) Elementen aus der Grundgesamtheit ziehen, in der genau \(k\) Elemente die spezielle Eigenschaft haben?
A: Dazu müssen in der Stichprobe \(k\) von \(M\) Elementen mit der speziellen Eigeschaft und \(n-k\) von \(N-M\) Elemente ohne diese werden. Dies ist auf \[\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}\]Arten möglich.
Der gefundene Ausdruck ist der Zähler der hypergeometrischen Verteilung.