Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 7 Testen

Q: Wie kann man eine stetige Verteilung testen?
A: Eine stetige Verteilung kann man mit dem Kolmogorov-Smirnov-Test testen. Um zu testen, ob ein Datensatz \(x_1,\dots,x_n\) eine Stichprobe einer Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion \(F(x)\) sein könnte, berechnet man die Statistiken \[\begin{aligned}K^+_n &= \sqrt{n}\max_{1\le i\le n}\biggl(\frac{i}{n}-F(x_i)\biggr)\\K^-_n &=\sqrt{n}\max_{1\le i\le n}\biggl(F(x_i)-\frac{i-1}n\biggr)\end{aligned}\]und testet mithilfe der KS-Tabelle, ob sie grösser sind als die Quantilen der Kolmogorov-Smirnov-Verteilung .

Q: Wie kann man eine diskrete Verteilung testen?
A: Wenn die Versuchsausgänge \(i\) einer diskreten Verteilung die Wahrscheinlichkeit \(p_i\) haben und man bei n Beobachtungen jeweils \(n_i\) Beobachtungen von i macht, dann ist die Diskrepanz \[D=\sum_{i=1}^n \frac{(n_i -np_i)^2}{np_i}\]\(\chi^2\)-verteilt mit \(n-1\) Freiheitsgraden. Man testet also, ob \(D\) die Quantilen der \(\chi^2\)-Verteilung über- oder unterschreitet. Dies ist der \(\chi^2\)-Test.

Q: Wie kann man testen, ob die Mittelwerte zweier Messreihen von Zufallsvariablen mit der gleichen Varianz signifikant verschieden sind.
A: Dazu dient der \(t\)-Test. Man berechnet die Testgrösse \[T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}}\sqrt{\frac{nm(n+m-2)}{n+m}},\] wobei \[\begin{aligned}\overline{X} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i&S_X^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\\\overline{Y} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Y_i&S_Y^2 &= \frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m (Y_i-\overline{Y})^2\end{aligned}\]die empirischen Erwartungswerte und Varianzen der Messwerte \(X_i\), \(i=1,\dots,n\), und \(Y_i, i=1,\dots,m\), sind. \(T\) ist \(t\)-verteilt mit \(n+m-2\) Freiheitsgraden. Man prüft also, ob \(T\) die Quantilen der \(t\)-Verteilung über- oder unterschreitet.

Q: Was bedeutet \(p\)-value?
A: Der \(p\)-value von \(x\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X>x)=1-F_X(x)\), dass der Wert einer Zufallsvariable \(X\) den Wert \(x\) überschreitet.

Q: Was bedeutet signifikant auf dem Signifikanzniveau \(\alpha\)?
A: Es bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, das gefundene Ergebnis nur unter der Annahme der Nullhypothese zu finden, kleiner als \(\alpha\) ist.

Q: Was sind übliche Werte für das Signifikanzniveau?
A: Verbreitet ist für kleine Studien mit geringer Tragweite \(\alpha=0.05\) (signifikant). Für Studien mit grosser Tragweite und ausreichender Datenmenge sollte \(\alpha=0.01\) oder \(\alpha=0.001\) (hoch signifikant) gefordert werden.

Q: Was ist die Nullhypothese?
A: Die Nullhypothese ist die Annahme, dass in einem Experiment ein Effekt nicht vorhanden, ein Unterschied nicht beobachtbar ist. Sie wir beim Testen der Alternativhypthese gegenübergestellt. Die Nullhypothese muss so beschaffen sein, dass sich daraus Aussagen über die Wahrscheinlichkeit für die Werte einer Testgrösse ableiten lassen. Ein Test verwirft die Nullhypothese, wenn die Wahrscheinlichkeit für den beobachteten Wert der Testgrösse kleiner ist als das Signifikanzniveau \(\alpha\).

Q: Was ist ein Fehler 1. Art?
A: Ein Fehler 1. Art bei einem statistischen Test ist die falsche Entscheidung (falsch positiv), die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist das Signifikanzniveau \(\alpha\) des Tests.