Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 6 Schätzen

Q: Was ist ein Schätzer?
A: Sei \(X\) eine Zufallsvariable mit einer Verteilungsfunktion mit einem Parameter \(\vartheta\). Ein Schätzer ist ein Funktion \(\hat{\vartheta}(x_1,\dots,x_n)\) die den Werten einer Stichprobe einer Zufallsvariable \(X\) einen Wert für den Parameter \(\vartheta\) der Verteilungsfunktion der Zufallsvariable \(X\) zuordnet.

Q: Was ist ein konsistenter Schätzer?
A: Ein Schätzer heisst konsistent, wenn er für beliebig grosse Stichproben genauer werdende Werte des geschätzten Parameters liefert: \[\lim_{n\to\infty} \hat{\vartheta}(x_1,\dots,x_n) = \vartheta.\]

Q: Was ist ein erwartungstreuer Schätzer?
A: Ein Schätzer heisst erwartungstreu, wenn er auch für kleine Stichproben im Mittel den richtigen Wert liefert. Ist \(X_1,\dots,X_n\) eine Stichprobe für die Zufallsvariable, deren Verteilung den Parameter \(\vartheta\) hat und der mit dem Schätzer \(\hat{\vartheta}\) geschätzt werden kann, dann ist der Schätzer erwartungstreu, wenn \[E(\hat{\vartheta}(X_1,\dots,X_n)) = \vartheta \]gilt.

Q: Was ist die Likelihood-Funktion?
A: Sei \(\varphi(x,\vartheta)\) die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariable \(X\) und \(x_1,\dots,x_n\) seien Beobachtungen dieser Zufallsvariable. Dann ist die Likelihood-Funktion \[L(x_1,\dots,x_n,\vartheta) = \varphi(x_1,\vartheta)\cdot\dots\cdot\varphi(x_n,\vartheta)\]

Q: Was ist der Maximum-Likelhood-Schätzer einer Zufallsvariable?
A: Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist derjenige Wert \(\hat{\vartheta}(x_1,\dots,x_n)\) für den Parameter \(\vartheta\), der die Likelihood-Funktion \(L(x_1,\dots,x_n,\vartheta)\) maximal macht.

Q: Wie lautet der erwartungstreue Schätzer für die Varianz einer Zufallsvariable?
A: Der erwartungstreue Varianzschätzer ist\[\operatorname{var}(X) \approx \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2,\]wobei \(\mu\) der empirische Erwartungswert ist.

Q: Gibt es einen erwartungstreuen Schätzer für den Erwartungswert einer Zufallsvariable?
A: Wegen der Linearität des Erwartungswertes ist der Mittelwert \[\hat{\mu}=\frac{1}{n}(x_1+\dots+x_n)\]ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert \(\mu\) einer Zufallsvariable.

Q: Was ist ein Konfidenzintervall?
A: Ein Konfidenzintervall für eine Zufallsvariable ist ein Intervall, welches den Wert der Zufallsvariable mit einer vorgegeben Wahrscheinlichkeit enthält.