Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 2 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit

Q: Was ist ein Ereignis?
A: Ein Ereignis ist eine Teilmenge \(A\subset \Omega\) aller Versuchsausgänge.

Q: Was bezeichnet die Menge \(\Omega\)?
A: Die Menge \(\Omega\) bezeichnet alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes.

Q: Was meint man, wenn man sagt, dass ein Ereignis eintritt?
A: Es bedeutet, dass der Ausgang \(\omega\in\Omega\) eines Versuches ein Element des Ereignisses \(A\) ist: \(\omega\in A\).

Q: Was ist das unmögliche Ereignis?
A: Die leere Menge \(\emptyset\subset\Omega\) ist ein Ereignis, welches nicht eintreten kann.

Q: Was ist das sichere Ereignis?
A: Die ganze Menge \(\Omega\) ist ein Ereignis, welches immer eintritt.

Q: Was bedeutet es, wenn für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) die Beziehung \(A\subset B\) gilt?
A: Es bedeutet, dass das Ereignis \(B\) eintritt, wenn \(A\) eintritt.

Q: Was bedeutet die Schnittmenge zweier Ereignisse?
A: Die Schnittmenge der Ereignisse \(A\) und \(B\) besteht aus den Versuchsausgängen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) liegen. Das Ereignis \(A\cap B\) tritt ein, wenn \(A\) und \(B\) eintreten.

Q: Welche Menge entspricht dem Ereignis, dass das Ereignis \(A\) oder das Ereignis \(B\) eintreten?
A: Das Ereignis \(A\cup B\) bedeutet, dass \(A\) oder \(B\) eintreten.

Q: Was ist ein Elementarereignis?
A: Elementarereignisse sind die Versuchsausgänge in der Menge \(\Omega\). Elementarereignisse werden oft mit \(\omega\) bezeichnet: \(\omega\in\Omega\).

Q: Was ist eine Ereignisalgebra?
A: Eine Ereignisalgebra \((\omega,\mathcal{A})\) ist eine Menge \(\Omega\) und eine Menge \(\mathcal{A}\) von Teilmengen von \(\Omega\): \(\mathcal{A}\subset P(\Omega)\), die folgende Axiome erfüllt
1. Vereinigungen von Elementen von \(\mathcal{A}\) sind in \(\mathcal{A}\): \[A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}\]
2. Differenzen von Elementen von \(\mathcal{A}\) sind in \(\mathcal{A}\): \[A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}\]
3. Das sichere Ereignis ist in \(\mathcal{A}\): \(\Omega\in\mathcal{A}\).
Für eine Ereignisalgebra folgt sofort auch:
1. Das unmögliche Ereignis ist in \(\mathcal{A}\): \(\emptyset\in\mathcal{A}\).
2. Das Komplement \(\overline{A}=\Omega\setminus A\) eines Ereignisses ist in \(\mathcal{A}\): \(\overline{A}\in\mathcal{A}\).
3. Die Schnittmenge zweier Ereignisse ist ebenfalls ein Ereignis: \(A\cap B = (A\cup B)\setminus((A\setminus B)\cup(B\setminus A))\in\mathcal{A}\).

Q: Was ist der frequentistische Ansatz für den Wahrscheinlichkeitsbegriff?
A: Der frequentistische Ansatz geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit ein Mass für die Häufigkeit ist, mit der das Ereignis bei beliebiger Wiederholung eintreten wird.

Q: Was ist der bayessche Ansatz für den Wahrscheinlichkeitsbegriff?
A: Der bayessche Ansatz ordnet einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit als Mass für die Überzeugung zu, mit der davon ausgehen kann, dass ein Ereignis eintritt. Der bayessche Ansatz ermöglicht einem Ereignis auch dann eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, wenn es nicht wirklich wiederholt werden kann.

Q: Wie wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses definiert?
A: Bei der \(N\)-maligen Durchführung des Experiments trete das Ereignis \(n\) mal ein. Dann wird die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) des Ereignisses \(A\) als der Grenzwert \[P(A)=\lim_{N\to\infty} \frac{n}{N}\] definiert.

Q: Welche Axiome gelten für die Wahrscheinlichkeit?
A: 1. Wertebereich: Für jedes Ereignis \(A\subset \Omega\) gilt \(0\le P(A)\le 1\).
2. Sicheres Ereignis: Das sichere Ereignis hat Wahrscheinlichkeit \(P(\Omega)=1\).
3. Vereinigung: Sind die Ereignisse \(A_1,A_2,\dots\) paarweise disjunkt, also \(A_i\cap A_j=\emptyset\) für \(i\ne j\), dann gilt \[P(A_1\cup A_2\cup\dots) = P(A_1)+P(A_2)+\dots=\sum_{k=1}^\infty P(A_k)\]

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses?
A: \(P(\emptyset)=0\)

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des zu \(A\) komplementären Ereignisses?
A: Das Ereignis \(\overline{A}=\Omega\setminus A\) hat die Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{A}) = 1-P(A)\).

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\setminus B\)?
A: Die Wahrscheinlichkeit der Differenz der Ereignisse \(A\) und \(B\) ist \(P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)\).

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(A\) oder \(B\) eintreten?
A: Die Wahrscheinlichkeit ist \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\](Ein-/Ausschaltformel).

Q: Was ist eine Laplace-Experiment?
A: In einem Laplace-Experiment haben alle Versuchsausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Laplace-Experiment kann daher sofort aus der Anzahl der Elementarereignisse berechnet werden: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.\]

Q: Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?
A: Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\) unter der Bedingung, das \(B\) eintritt, ist \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]

Q: Was ist der Zusammenhang zwischen \(P(A|B)\) und \(P(B|A)\)?
A: Der Satz von Bayes erlaubt, die bedingten Wahrscheinlichkeiten zu verbinden: \[P(A|B) = P(B|A)\frac{P(B)}{P(A)}\]

Q: Was besagt der Satz von Bayes?
A: Der Satz von Bayes erlaubt, die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(A|B)\) und \(P(B|A)\) miteinander zu verbinden. Es gilt \[P(A|B) = P(B|A)\frac{P(A)}{P(B)}\]

Q: Gegeben sind disjunkte Ereignisse \(B_1,B_2,\dots\), die zusammen das sichere Ereignis ergeben. Ausserdem sind vom Ereignis \(A\) die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P(A|B_k)\) bekannt. Wie findet man \(P(A)\)?
A: Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet \[P(A) = \sum_{k} P(A|B_k)\cdot P(B_k)\]

Q: Was besagt der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit?
A: Wenn \(B_k\) eine Familie von disjunkten Ereignissen mit Vereinigung \(\Omega\) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\) gegeben durch \[P(A) = \sum_k P(A|B_k)\cdot P(B_k).\]

Q: Wann sind zwei Ereignisse unabhängig?
A: Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn es für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A keine Rolle spielt, ob B eintritt. Es muss also \(P(A) = P(A|B)\) gelten. Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind unabhängig, wenn \[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]gilt. Dies folgt aus der Definition \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B}{P(B)}\]der bedingten Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation mit \(P(B)\).

Q: Was besagt die Ein-/Ausschaltformel?
A: Die Ein-/Ausschaltformel \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse \(A\) und \(B\) durch ihre Wahrscheinlichkeiten und die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge \(A\cap B\) auszudrücken.