Title: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik / 5 Beispiele von Verteilungen

Q: Was ist die Gleichverteilung auf dem Interval \([a,b]\)?
A: Die Gleichverteilung auf dem Intervall \([a,b]\) hat die Verteilungsfunktion \[F(x)=\begin{cases}0&x\le a\\\frac{x-a}{b-a}&a<x\le b\\1&b < x\end{cases}\]Der Erwartungswert ist \(E(X)=\frac{b-a}2\) und die Varianz \(\operatorname{var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)

Q: Was ist die Exponentialverteilung?
A: Die Exponentialverteilung ist die Verteilung der Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses in einem gedächtnislosen Prozess. Sie hat die Wahrscheinlichkeitsdichte \[\varphi(x) = \begin{cases} ae^{-ax}\qquad&x \ge 0\\ 0\qquad& x <0\end{cases}\]und die Verteilungsfunktion \[F(x) = \begin{cases} 1-e^{-ax}\qquad x\ge 0\\0\qquad&x<0\end{cases}\]Der Erwartungswert ist \(\frac1a\), die Varianz ist \(\frac1{a^2}\) und der Median ist \(\frac1a\log 2\). Die Bedeutung von \(a\) ist die mittlere Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses in einem gedächtnislosen Prozess. Der Median heisst auch die Halbwertszeit des Prozesses.

Q: Wie ist die Wahrscheinlichkeit der Summe \(X=X_1+\dots+X_n\) von \(n\) exponentialverteilten Zufallsvariablen verteilt?
A: Dies ist die Erlang-Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[\varphi_X(x) = \frac{a^nx^{n-1}}{(k-1)!}e^{-ax} \]für \(x\ge 0\) und \(0\) sonst. Die Verteilungsfunktion ist\[F_X(x) = 1-e^{-ax}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(ax)^k}{k!}\]für \(x\ge 0\) und \(0\) sonst.

Q: Welche Verteilung wird verwendet, um gedächtnislose Prozesse zu modellieren?
A: Die Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses wird durch die Exponentialverteilung modelliert.

Q: Wie gross sind Erwartungswert und Varianz einer Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda\).
A: Der Erwartungswert ist \(\lambda\), die Varianz ist \(\lambda\).

Q: Die Binomialverteilung ist für grosse n schwierig zu berechnen. Wie kann man sie für kleine Wahrscheinlichkeit approximiert werden.
A: Für seltene Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit \(p\) kann man die Binomialverteilung mit der Poisson-Verteilung als \[P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx P_{\lambda}(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\] approximieren.

Q: Wie ist die Anzahl des Eintretens eines \(n\) mal wiederholten Bernoulli-Experimentes mit Wahrscheinlichkeit \(p\) verteilt?
A: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bernoulli-Experiment mit Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Wiederholungen genau \(k\) mal eintritt, ist die Binomialverteilung mit Wahrscheinlichkeit \[P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\]

Q: Was ist der Erwartungswert und die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit \(p\) und \(n\) Wiederholungen?
A: Der Erwartungswert ist \(np\) und die Varianz ist \(np(1-p)\).

Q: Was modelliert die Normalverteilung?
A: Eine Zufallsvariable, der sich aus einer sehr grossen Zahl kleiner, unabhängiger Einflüsse zusammensetzt, ist approximativ normalverteilt.

Q: Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
A: Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer grossen Zahl von kleinen Zufallsvariablen approximativ normalverteilt ist.
Genauer: sind X_i unabhängige Zufallsvariablen mit \(E(X_i)=0\) und \(\operatorname{var}(X_i)=1\) dann konvergiert die Verteilungsfunktion der Summe \[S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}{\sqrt{n}}\]gegen die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung.

Q: Was ist die Normalverteilung?
A: Die Normalverteilung ist Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \[\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\]Sie hat den Erwartungswert \(\mu\) und die Varianz \(\sigma^2\).

Q: Was ist die Standardnormalverteilung?
A: Eine Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 heisst Standardnormalverteilung.

Q: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P(|X|\le k\sigma) einer normalverteilten Zufallsgrösse X mit Standardabweichung \sigma und k=1,2,3
A: \[\begin{aligned}P(-\phantom{0}\sigma\le X\le \phantom{0}\sigma) &\approx 0.68 \\P(-2\sigma\le X\le 2\sigma) &\approx 0.95\\P(-3\sigma\le X\le 3\sigma) &\approx 0.99\end{aligned}\]

Q: Was ist ein Bernoulli-Experiment?
A: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, zum Beispiel ein Münzwurf.

Q: Was modelliert die Poisson-Verteilung?
A: Die Poisson-Verteilung \(P_\lambda(k)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall der Länge \(x\) genau \(k\) Ereignisse stattfinden, deren Zeitabstände exponentialverteilt sind mit Parameter \(a\). Der Parameter \(\lambda\) der Poisson-Verteilung ist \(\lambda=ax\).
Die Poisson-Verteilung kann auch verwendet werden, um seltene Ereignisse zu modellieren. In diesem Fall ist \(\lambda\) die erwartete Anzahl Ereignisse, die einem vorgegebenen Intervall eintreten werden.

Q: Was ist die hypergeometrische Verteilung?
A: Die hypergeometrische Verteilung \[h(k\mid N,M,n) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\] berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass in einer \(n\) Elemente umfassenden Stichprobe einer Grundgesamtheit von \(N\) Elementen, von denen \(M\) eine spezielle Eigenschaft besitzen, \(k\) Elemente mit der zu finden sind.

Q: Wozu dient die Potenzverteilung?
A: Die Potenzverteilung modelliert skaleninvariante Prozesse.

Q: Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte der Potenzverteilung?
A: Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Potenzverteilung ist \[\varphi(x) = \begin{cases}\frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}^{1-\alpha}}x^{-\alpha} &\qquad x>x_{\text{min}}\\0&\qquad\text{sonst.}\end{cases}\]

Q: Wie hängen Erwartungswert und Varianz einer Potenzverteilung von den Parametern \(\alpha\) und \(x_{\text{min}}\) ab?
A: \[\begin{aligned} E(X)&=\frac{\alpha-1}{\alpha-2}x_{\text{min}}\\\operatorname{var}(X)&=\biggl(\frac{\alpha-1}{\alpha-3}-\biggl(\frac{\alpha-1}{\alpha-2}\biggr)^2\biggr)x_{\text{min}}^2\end{aligned}\]

Q: Wie gross ist der Median einer Potenzverteilung?
A: \[x_{\frac12}=2^{\frac{1}{\alpha-1}}x_{\text{min}}\]

Q: Eine Potenzverteilung führt auf ein 80/20-artige Regel. Was ist der genaue Zusammenhang?
A: Wir schreiben \[\begin{aligned} P(x) &= \int_x^\infty \varphi(\xi),d\xi\\ W(x)&=\frac{\int_x^\infty \xi\varphi(\xi)\,d\xi}{\int_{x_{\text{min}}}^\infty \xi\varphi(\xi)\,d\xi}.\end{aligned}\]\(P(x)\) ist der Anteil der Werte oberhalb von \(x\), \(W(x)\) ist der Anteil des "Wertes" oberhalb von \(x\). Die 80/20-Regel gilt, wenn \(P(x)=0.2\) und \(W(x)=0.8\). Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn \(\alpha=2.160964\).
Eine allgemeine Regel mit dem Verhältnis \[\lambda=\frac{\log W(x)}{\log P(x)}\] gilt für \[\alpha=\frac{\lambda-2}{\lambda -1}.\]